微分積分例

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + e^{x}$ とします。次に $d u = e^{x} d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + e^{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + e^{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{x}$

ステップ 1.1.4

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 1.2

$u = 1 + e^{x}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$u_{lower} = 1 + 2$

ステップ 1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 1.4

$u = 1 + e^{x}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$u_{upper} = 1 + 8$

ステップ 1.5.2

$1$ と $8$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

ステップ 3

$9$ および $3$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $9$ の間の距離は $9$ です。

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

ステップ 5.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\ln (\frac{9}{3})$

ステップ 5.3

$9$ を $3$ で割ります。

$\ln (3)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (3)$

10進法形式：

$1.09861228 \dots$

微分積分 例

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