微分積分例

$\int x e^{3 x} d x$

ステップ 1

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{u}{3}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.2

$\frac{u e^{u}}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

ステップ 2.3

$3$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{9}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

ステップ 4

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 5

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 6

簡約します。

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

ステップ 8.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

ステップ 8.2.2

$3$ を $3 x e^{3 x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

ステップ 8.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

ステップ 8.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

ステップ 8.3

$x$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

ステップ 8.4

$\frac{x}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

ステップ 8.5

$\frac{1}{9}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

微分積分 例

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