微分積分例

$\int_{1}^{3} (x + 1) e^{x^{2} + 2 x} d x$

ステップ 1

$u = x^{2} + 2 x$ とします。次に $d u = (2 x + 2) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{2} + 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2$

ステップ 1.2

$u = x^{2} + 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1^{2} + 2 \cdot 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 1$

ステップ 1.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + 2$

ステップ 1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = 3$

ステップ 1.4

$u = x^{2} + 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3^{2} + 2 \cdot 3$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 9 + 2 \cdot 3$

ステップ 1.5.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = 9 + 6$

ステップ 1.5.2

$9$ と $6$ をたし算します。

$u_{upper} = 15$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 15$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{3}^{15} e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{3}^{15} \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{3}^{15} e^{u} d u$

ステップ 4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} e^{u}]_{3}^{15}$

ステップ 5

$15$ および $3$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (e^{15} - e^{3})$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2} \cdot (e^{15} - e^{3})$

10進法形式：

$1634498.64346759$

微分積分 例

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