微分積分例

$\int_{0}^{2} \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

ステップ 3

$(3 x^{2} - 1) x^{- 2}$ を掛けます。

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$\int_{0}^{2} 3 (x^{- 2} x^{2}) - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{2} 3 x^{- 2 + 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.1.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{2} 3 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

$\int_{0}^{2} 3 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.2

$3 x^{0}$ を簡約します。

$\int_{0}^{2} 3 - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 4.3

$- 1 x^{- 2}$ を $- x^{- 2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{2} 3 - x^{- 2} d x$

$\int_{0}^{2} 3 - x^{- 2} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{2} 3 d x + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$3 x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3 x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$3 x]_{0}^{2} - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ および $0$ で $3 x$ の値を求めます。

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot 0 - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

ステップ 9.2

$2$ および $0$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$3 \cdot 2 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$6 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

ステップ 9.3.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$6 + 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

ステップ 9.3.3

$6$ と $0$ をたし算します。

$6 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

ステップ 9.3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6 - (- \frac{1}{2} + 0^{- 1})$

ステップ 9.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

ステップ 9.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

ステップ 10

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$