微分積分例

$\int x^{3} \sqrt{1 + x^{2}} d x$

ステップ 1

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 1.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int {\sqrt{u - 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

簡約します。

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ステップ 2.1.1

${\sqrt{u - 1}}^{2}$ を $u - 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u - 1}$ を ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int {(u - 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.1.5

簡約します。

$\int (u - 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{u}$ をまとめます。

$\int (u - 1) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int (u - 1) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.2

$u$ と $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.3

$u$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 3.7

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 4

$- 1 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ を $- \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 10

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ を $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} {(1 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} {(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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