微分積分例

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x - 1} d x$

ステップ 1

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = x - 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 - 1$

ステップ 1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x - 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 - 1$

ステップ 1.5

$2$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} (u + 1) \sqrt{u} d u$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.7

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 7

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$ と $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ および $0$ で $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 8.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 8.3

$\frac{2}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 8.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 8.5

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{5} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{2}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.2

$\frac{2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 9.3.1

$\frac{2}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.3.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.3.3

$\frac{2}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.3.4

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.5

分子を簡約します。

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ステップ 9.5.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 + 2 \cdot 5}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.5.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{6 + 10}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 9.5.3

$6$ と $10$ をたし算します。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 10.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 10.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 10.3.2

式を書き換えます。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 10.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{16}{15} - (\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 11

$\frac{2}{5}$ に $0$ をかけます。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 12.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 12.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 12.3.2

式を書き換えます。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

ステップ 12.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{16}{15} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{2}{3}$ に $0$ をかけます。

$\frac{16}{15} - (0 + 0)$

ステップ 13.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{16}{15} - 0$

ステップ 13.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{16}{15} + 0$

ステップ 13.4

$\frac{16}{15}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{16}{15}$

ステップ 14

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{16}{15}$

10進法形式：

$1.0\overline{6}$

帯分数形：

$1 \frac{1}{15}$

微分積分 例

微分積分例