微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{5 x + 4}{2 x + 1} d x$

ステップ 1

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 2 x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 2 + 1$

ステップ 1.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{2 u} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 4}{u} d u$

ステップ 4

分数を複数の分数に分割します。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} + \frac{4}{u} d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{5 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 6

$5$ は $u$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.2

まとめる。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.6

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.7

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 7.7.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} (5 \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{2 u} d u + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u - 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 9

分数を複数の分数に分割します。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 11

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} \frac{u}{u} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 11.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} d u + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} \frac{- 1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 14

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 15

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (5 (\frac{1}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3}))) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + \int_{1}^{3} \frac{4}{u} d u)$

ステップ 17

$4$ は $u$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 18

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (u]_{1}^{3} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| u |)]_{1}^{3}))$

ステップ 19

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} 2 x + 1]_{1}^{3} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

ステップ 20.2

$\frac{5}{2}$ と $2 x + 1]_{1}^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} + \frac{5}{2} (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

ステップ 20.3

$\frac{5}{2}$ と $\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3})}{2} - \frac{5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

ステップ 20.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

ステップ 20.5

$5$ を $5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ で因数分解します。

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ステップ 20.5.1

$5$ を $- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

ステップ 20.5.2

$5$ を $5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

ステップ 20.6

$4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 20.7

$4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))}{2} + \frac{4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2})$

ステップ 20.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3} - (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

ステップ 20.9

分子を簡約します。

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ステップ 20.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 5 (- (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

ステップ 20.9.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 4 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) \cdot 2}{2}$

ステップ 20.9.3

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) - 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}) + 8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

ステップ 20.9.4

$- 5 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ と $8 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$

ステップ 20.10

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ を掛けます。

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ステップ 20.10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2}$ をかけます。

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{2 \cdot 2}$

ステップ 20.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3})}{4}$

ステップ 21

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} (5 (2 x + 1]_{1}^{3}) + 3 (\ln (| 2 x + 1 |)]_{1}^{3}))$

微分積分 例

微分積分例