微分積分例

$\int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

ステップ 1

$u = \frac{π t}{2}$ とします。次に $d u = \frac{π}{2} d t$ すると、 $\frac{2}{π} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{π t}{2}$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{π t}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{π}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{π t}{2}$ の微分係数は $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{π}{2} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 1.2

$u = \frac{π t}{2}$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

$2$ を $π \cdot 0$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

ステップ 1.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

ステップ 1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.2.3

式を書き換えます。

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

ステップ 1.3.1.2.4

$π \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$u_{lower} = π \cdot 0$

ステップ 1.3.2

$π$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \frac{π t}{2}$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

ステップ 1.5

$π$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{π}{2}$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

ステップ 2.2

$\frac{2}{π}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

ステップ 2.3

$\cos (u)$ と $\frac{2}{π}$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

ステップ 2.4

$2$ を $\cos (u)$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

ステップ 3

$\frac{2}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{2}{π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

ステップ 4

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{2}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{π}{2}$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{2}{π} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2}{π} (1 - \sin (0))$

ステップ 5.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{2}{π} (1 - 0)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{2}{π} (1 + 0)$

ステップ 5.2.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{π} \cdot 1$

ステップ 5.2.5

$\frac{2}{π}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{π}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{π}$

10進法形式：

$0.63661977 \dots$

微分積分 例

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