微分積分例

$y = {(\sqrt{x^{3}} + \sqrt{x^{5}})}^{n}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x^{3}} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$ を $\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ を因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\sqrt{x^{2} x} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{x^{5}})}^{n}]$

ステップ 1.3

$x^{5}$ を ${(x^{2})}^{2} x$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.1

$x^{4}$ を因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{x^{4} x})}^{n}]$

ステップ 1.3.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})}^{n}]$

ステップ 1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [{(x \sqrt{x} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

ステップ 3

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [{(x^{1} x^{\frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

ステップ 3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{1 + \frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

ステップ 3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

ステップ 3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2 + 1}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

ステップ 3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \sqrt{x})}^{n}]$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2} x^{\frac{1}{2}})}^{n}]$

ステップ 5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{n}]$

ステップ 5.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n}]$

ステップ 5.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n}]$

ステップ 5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{n}]$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{n}]$

ステップ 5.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n}]$

ステップ 6

$f (x) = x^{n}$ および $g (x) = x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{n}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 6.2

$n = n$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n u^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ で置き換えます。

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ステップ 6.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 6.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 6.3.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 6.3.4

公分母の分子をまとめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 6.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 6.3.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

総和則では、 $x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ です。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 7.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 10

公分母の分子をまとめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 11

分子を簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 11.2

$3$ から $2$ を引きます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 12

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

ステップ 13

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

ステップ 14

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 15

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 16

公分母の分子をまとめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 17

分子を簡約します。

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ステップ 17.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

ステップ 17.2

$5$ から $2$ を引きます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

ステップ 18

$\frac{5}{2}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

ステップ 19

簡約します。

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ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 19.2

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 19.2.1

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $n$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n}{2} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 19.2.2

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n}{2}$ と ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 19.3

$n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 19.3.1

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ と $n$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} n}{2} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$

ステップ 19.3.2

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}} n}{2}$ と ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

ステップ 19.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

ステップ 19.5

$3 x^{\frac{1}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 x^{\frac{3}{2}} n {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

ステップ 19.6

分子を簡約します。

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ステップ 19.6.1

$n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ を $3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ で因数分解します。

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ステップ 19.6.1.1

$n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ を $3 n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ で因数分解します。

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + 5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}}{2}$

ステップ 19.6.1.2

$n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ を $5 n x^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ で因数分解します。

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (5 x^{\frac{2}{2}})}{2}$

ステップ 19.6.1.3

$n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1}$ を $n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3) + n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (5 x^{\frac{2}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x^{\frac{2}{2}})}{2}$

ステップ 19.6.2

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x^{1})}{2}$

ステップ 19.6.3

簡約します。

$\frac{n x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}})}^{n - 1} (3 + 5 x)}{2}$

微分積分 例

微分積分例