微分積分例

$y = \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{4 x^{3}}{2 x^{2} - 5}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$ です。

$4 \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{2 x^{2} - 5}]$

ステップ 3.2

$f (y) = x^{3}$ および $g (y) = 2 x^{2} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) \frac{d}{d y} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3

$f (y) = y^{3}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x$ とします。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$4 \frac{(2 x^{2} - 5) (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.4

$3$ を $2 x^{2} - 5$ の左に移動させます。

$4 \frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5) x^{2} \frac{d}{d y} [x] - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} \frac{d}{d y} [2 x^{2} - 5]}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

総和則では、 $2 x^{2} - 5$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5]$ です。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.7

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (2 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.8

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.9

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + \frac{d}{d y} [- 5])}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.10

$- 5$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x' + 0)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

$4 x x'$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - x^{3} (4 x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.11.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{3} (x x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.12

$x$ を $1$ 乗します。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 (x^{1} x^{3}) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{1 + 3} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.14

$1$ と $3$ をたし算します。

$4 \frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.15

$4$ と $\frac{3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (3 (2 x^{2} - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) + 3 \cdot - 5) x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((3 (2 x^{2}) x^{2} + 3 \cdot - 5 x^{2}) x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x' + 3 \cdot - 5 x^{2} x' - 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 (2 x^{2}) x^{2} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.5.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 (3 (2 (x^{2} x^{2})) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (3 (2 x^{2 + 2}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 (3 (2 x^{4}) x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{4 (6 x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5.1.3

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{24 (x^{4} x') + 4 (3 \cdot - 5 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5.1.4

$3$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{24 x^{4} x' + 4 (- 15 x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5.1.5

$- 15$ に $4$ をかけます。

$\frac{24 x^{4} x' - 60 (x^{2} x') + 4 (- 4 x^{4} x')}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5.1.6

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{24 x^{4} x' - 60 x^{2} x' - 16 x^{4} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.5.2

$24 x^{4} x'$ から $16 x^{4} x'$ を引きます。

$\frac{8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.6

$4 x^{2} x'$ を $8 x^{4} x' - 60 x^{2} x'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.6.1

$4 x^{2} x'$ を $8 x^{4} x'$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) - 60 x^{2} x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.6.2

$4 x^{2} x'$ を $- 60 x^{2} x'$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.6.3

$4 x^{2} x'$ を $4 x^{2} x' (2 x^{2}) + 4 x^{2} x' (- 15)$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 3.16.7

$\frac{4 x^{2} x' (2 x^{2} - 15)}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式を $\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$ として書き換えます。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} = 1$

ステップ 5.2

両辺に ${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ を掛けます。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1.1

${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x'}{{(2 x^{2} - 5)}^{2}} {(2 x^{2} - 5)}^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.1.1.2

式を書き換えます。

$4 x^{2} (2 x^{2} - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} (2 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.1.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot - 15) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.1.3.2

$- 15$ に $4$ をかけます。

$(4 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.2.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.2.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$(4 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(4 \cdot 2 x^{2 + 2} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$(4 \cdot 2 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$(8 x^{4} - 60 x^{2}) x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.3

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$8 x^{4} x' - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.3.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.3.2.1

$x^{4}$ を移動させます。

$8 x' x^{4} - 60 x^{2} x' = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.1.1.3.2.2

$x^{2}$ を移動させます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 1 {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

ステップ 5.4

$x'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.1

${(2 x^{2} - 5)}^{2}$ を $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ に書き換えます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = (2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$

ステップ 5.4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{2} - 5) (2 x^{2} - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2} - 5) - 5 (2 x^{2} - 5)$

ステップ 5.4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2} - 5)$

ステップ 5.4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

ステップ 5.4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

ステップ 5.4.1.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

ステップ 5.4.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{2 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

ステップ 5.4.1.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

ステップ 5.4.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

ステップ 5.4.1.3.1.4

$- 5$ に $2$ をかけます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 5$

ステップ 5.4.1.3.1.5

$2$ に $- 5$ をかけます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} - 5 \cdot - 5$

ステップ 5.4.1.3.1.6

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 10 x^{2} - 10 x^{2} + 25$

ステップ 5.4.1.3.2

$- 10 x^{2}$ から $10 x^{2}$ を引きます。

$8 x' x^{4} - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

ステップ 5.4.2

$4 x' x^{2}$ を $8 x' x^{4} - 60 x' x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$4 x' x^{2}$ を $8 x' x^{4}$ で因数分解します。

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) - 60 x' x^{2} = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

ステップ 5.4.2.2

$4 x' x^{2}$ を $- 60 x' x^{2}$ で因数分解します。

$4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15 = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

ステップ 5.4.2.3

$4 x' x^{2}$ を $4 x' x^{2} (2 x^{2}) + 4 x' x^{2} \cdot - 15$ で因数分解します。

$4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$

ステップ 5.4.3

$4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ の各項を $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

$4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15) = 4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ の各項を $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ で割ります。

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' x^{2} (2 x^{2} - 15)}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.2.3

$2 x^{2} - 15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (2 x^{2} - 15)}{2 x^{2} - 15} = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.2.3.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{4 x^{4}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{x^{4}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.2

$x^{4}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.2.2.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 20 x^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.3

$- 20$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.3.1

$4$ を $- 20 x^{2}$ で因数分解します。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.3.2.1

$4$ を $4 x^{2} (2 x^{2} - 15)$ で因数分解します。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{4 (- 5 x^{2})}{4 (x^{2} (2 x^{2} - 15))} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.4.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} + \frac{- 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$x' = \frac{x^{2}}{2 x^{2} - 15} - \frac{5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.3

$\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ を掛けます。

$x' = \frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15} \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 x^{2} - 15) \cdot 4 x^{2}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.4.1

$\frac{x^{2} - 5}{2 x^{2} - 15}$ に $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ をかけます。

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.4.2

$(2 x^{2} - 15) (4 x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2})}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)} + \frac{25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$x' = \frac{(x^{2} - 5) (4 x^{2}) + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.6.1

分配則を当てはめます。

$x' = \frac{(x^{2} \cdot 4 - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.2

$4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 5 \cdot 4) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.3

$- 5$ に $4$ をかけます。

$x' = \frac{(4 \cdot x^{2} - 20) x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.4

分配則を当てはめます。

$x' = \frac{4 x^{2} x^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.5

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.6.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x' = \frac{4 (x^{2} x^{2}) - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x' = \frac{4 x^{2 + 2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$x' = \frac{4 x^{4} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.6

因数分解した形で $4 x^{4} - 20 x^{2} + 25$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.6.6.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x' = \frac{4 {(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.6.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x' = \frac{4 u^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.6.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.3.6.6.3.1

$4 u^{2}$ を ${(2 u)}^{2}$ に書き換えます。

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 25}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.6.3.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 20 u + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.6.3.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$20 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 5$

ステップ 5.4.3.3.6.6.3.4

多項式を書き換えます。

$x' = \frac{{(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 5 + 5^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.6.3.5

$a = 2 u$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$x' = \frac{{(2 u - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 5.4.3.3.6.6.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x' = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(2 x^{2} - 5)}^{2}}{4 x^{2} (2 x^{2} - 15)}$

微分積分 例

微分積分例