微分積分例

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

ステップ 2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $4 y^{3} + 5 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y$ とします。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 3.2.4

$3$ に $4$ をかけます。

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

ステップ 3.3.4

$2$ に $5$ をかけます。

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ として書き換えます。

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

ステップ 5.2

$2 y y'$ を $12 y^{2} y' + 10 y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$2 y y'$ を $12 y^{2} y'$ で因数分解します。

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

ステップ 5.2.2

$2 y y'$ を $10 y y'$ で因数分解します。

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

ステップ 5.2.3

$2 y y'$ を $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ で因数分解します。

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

ステップ 5.3

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ の各項を $2 y (6 y + 5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ の各項を $2 y (6 y + 5)$ で割ります。

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

ステップ 5.3.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

ステップ 5.3.2.3

$6 y + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

ステップ 5.3.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

ステップ 5.3.3.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

微分積分 例

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