微分積分例

$y = - \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- \frac{1}{5} x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{3} - 3 x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{- 4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{5} x^{- 4}$ の微分係数は $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ です。

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\frac{1}{5}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.4

$4$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.5

$\frac{4}{5}$ と $x^{- 5}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 5}$ を分母に移動させます。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.3.3

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.3.4

$\frac{3}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{- 1}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{- 1}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} - 3 (- x^{- 2})$

ステップ 1.4.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x^{- 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2

$3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4}{5 x^{5}} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}}$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{5 x^{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x^{2}}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.3

$2$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.5

$\frac{6}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.6

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.2.6.2.4

$3 x$ を $1$ で割ります。

$3 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$3 x + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x + 3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 x + 3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$3 x + 3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x + 3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$3 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x + 3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$3 x + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.3.10

$- 2$ に $3$ をかけます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{5 x^{5}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{5 x^{5}}$ の微分係数は $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ です。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{x^{5}}$ を ${(x^{5})}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

ステップ 2.4.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{5}$ とします。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 2.4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 2.4.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{5}$ で置き換えます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 2.4.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

ステップ 2.4.5

${(x^{5})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

ステップ 2.4.5.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

ステップ 2.4.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

ステップ 2.4.7

指数を足して $x^{- 10}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.1

$x^{4}$ を移動させます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

ステップ 2.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

ステップ 2.4.7.3

$4$ から $10$ を引きます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

ステップ 2.4.8

$- 5$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

ステップ 2.4.9

$- 5$ に $4$ をかけます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5} x^{- 6}$

ステップ 2.4.10

$\frac{- 20}{5}$ と $x^{- 6}$ をまとめます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20 x^{- 6}}{5}$

ステップ 2.4.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 6}$ を分母に移動させます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 20}{5 x^{6}}$

ステップ 2.4.12

$- 20$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.1

$5$ を $- 20$ で因数分解します。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

ステップ 2.4.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.2.1

$5$ を $5 x^{6}$ で因数分解します。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 (x^{6})}$

ステップ 2.4.12.2.2

共通因数を約分します。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{5 \cdot - 4}{5 x^{6}}$

ステップ 2.4.12.2.3

式を書き換えます。

$3 x - 6 x^{- 3} + \frac{- 4}{x^{6}}$

ステップ 2.4.13

分数の前に負数を移動させます。

$3 x - 6 x^{- 3} - \frac{4}{x^{6}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 x - 6 \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$- 6$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$3 x + \frac{- 6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

ステップ 2.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = 3 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{4}{x^{6}}$

微分積分 例

微分積分例