微分積分例

$y = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{2 x^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}] - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (2 (x^{2} + 1) (2 x)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (4 (x^{2} + 1) x) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} x^{2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1 + 2} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - {(x^{2} + 1)}^{2} (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{x^{3} (4 (x^{2} + 1)) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} (4 x^{2} + 4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} (4 x^{2}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 x^{3} x^{2} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 (x^{2} x^{3}) + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{2 + 3} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.2.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4 x^{5} + x^{3} (4 \cdot 1) - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x^{5} + x^{3} \cdot 4 - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.4

$4$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot x^{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.5

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.7.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.7.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.7.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.7.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.7.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.7.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.7.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.8

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.9.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.9.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.10

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.11.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.11.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.11.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.11.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.11.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.11.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.11.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.11.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.11.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.11.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.11.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.1.11.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.2

$4 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$4 x^{3}$ から $4 x^{3}$ を引きます。

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} + 0 - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.2.2

$4 x^{5} - 2 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 x^{5} - 2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.3.3

$4 x^{5}$ から $2 x^{5}$ を引きます。

$\frac{2 x^{5} - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$2 x$ を $2 x^{5} - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.1

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4}) - 2 x}{2 x^{4}}$

ステップ 9.4.1.2

$2 x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)}{2 x^{4}}$

ステップ 9.4.1.3

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4} - 1)}{2 x^{4}}$

ステップ 9.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1)}{2 x^{4}}$

ステップ 9.4.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})}{2 x^{4}}$

ステップ 9.4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))}{2 x^{4}}$

ステップ 9.4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))}{2 x^{4}}$

ステップ 9.4.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{2 x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{2 x^{4}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

ステップ 9.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{2 x^{4}}$

ステップ 9.5.2

式を書き換えます。

$\frac{((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)}{x^{4}}$

ステップ 9.6

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

$x$ を $((x (x^{2} + 1)) (x + 1)) (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x^{4}}$

ステップ 9.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 9.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 9.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{((x^{2} + 1) (x + 1)) (x - 1)}{x^{3}}$

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例