微分積分例

$\int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

ステップ 1

この積分はu置換を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 4

指数を足して $\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ をかけます。

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ステップ 4.1.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

ステップ 4.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 5

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 6

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

ステップ 7

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 8

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 10.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 11

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 12

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 12.1

累乗法を積に書き換えます。

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 12.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 13

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

ステップ 14

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

ステップ 15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

ステップ 16

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

ステップ 17

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

ステップ 19

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

ステップ 20

単一積分を複数積分に分割します。

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 21

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 22

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 23

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 23.1

分配則を当てはめます。

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 23.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 24

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

ステップ 25

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

ステップ 26

簡約します。

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 27

$t$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$

微分積分 例

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