微分積分例

$\int_{- 3}^{4} (2 e^{- 3 x} - 3 e^{x}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} - 3 e^{x} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{- 3}^{4} e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 4

$u = - 3 x$ とします。次に $d u = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = - 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 4.1.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3$

ステップ 4.2

$u = - 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 3 \cdot - 3$

ステップ 4.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$u_{lower} = 9$

ステップ 4.4

$u = - 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 3 \cdot 4$

ステップ 4.5

$- 3$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = - 12$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = - 12$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 5.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$2 \int_{9}^{- 12} - \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 9.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

ステップ 11

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 \int_{- 3}^{4} e^{x} d x$

ステップ 12

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

ステップ 13

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$- 12$ および $9$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

ステップ 13.2

$4$ および $- 3$ で $e^{x}$ の値を求めます。

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 ((e^{4}) - e^{- 3})$

ステップ 13.3

括弧を削除します。

$- \frac{2}{3} (e^{- 12} - e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2}{3} e^{- 12} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

ステップ 14.1.2

$e^{- 12}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

ステップ 14.1.3

$- \frac{2}{3} (- e^{9})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

ステップ 14.1.3.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2}{3} e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

ステップ 14.1.3.3

$\frac{2}{3}$ と $e^{9}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

ステップ 14.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 12}$ を分母に移動させます。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

ステップ 14.1.5

分配則を当てはめます。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} - 3 (- e^{- 3})$

ステップ 14.1.6

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 e^{- 3}$

ステップ 14.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 \frac{1}{e^{3}}$

ステップ 14.2.2

$3$ と $\frac{1}{e^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

10進法形式：

$5238.41085872 \dots$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例