微分積分例

$\sqrt{5 - x}$

ステップ 1

$\sqrt{5 - x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{5 - x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{5 - x} d x$

ステップ 4

$u = 5 - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 5 - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$5 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 - x]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $5 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 4.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - \sqrt{u} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \sqrt{u} d u$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 8

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $5 - x$ で置き換えます。

$- \frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = \sqrt{5 - x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

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