微分積分例

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 3.2

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ に $1$ をかけます。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

ステップ 4

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ と $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ をまとめます。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{3 π}{2}$ および $\frac{π}{2}$ で $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ の値を求めます。

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$\frac{3 π}{2}$ と $\cos (\frac{3 π}{2})$ をまとめます。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.2.2.2

$\frac{π}{2}$ と $\cos (\frac{π}{2})$ をまとめます。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 5.2.2.3

$- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.2.2.4

$- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.2.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.3

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.4

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 5.3.8

$\sin (\frac{3 π}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.3.9

$\sin (\frac{3 π}{2})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.3.11

$2$ を $\sin (\frac{3 π}{2})$ の左に移動させます。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.3.12

$- 1$ を $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.3.13

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.3.14

$- 1$ を $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.3.15

$- 1$ を $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

ステップ 5.3.16

$- 1$ を $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ で因数分解します。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

ステップ 5.3.17

$- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ を $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

ステップ 5.3.18

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.4.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.4.3

$3 π \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 5.4.3.1

$0$ に $3$ をかけます。

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.4.3.2

$0$ に $π$ をかけます。

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

ステップ 5.4.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

ステップ 5.4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

ステップ 5.4.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

ステップ 5.4.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

ステップ 5.4.8

$0 + 2 + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.8.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

ステップ 5.4.8.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

ステップ 5.4.8.3

$2$ を $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

ステップ 5.4.8.4

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

ステップ 5.4.8.5

$2$ を $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

ステップ 5.4.8.6

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.8.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

ステップ 5.4.8.6.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.8.6.3

式を書き換えます。

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

ステップ 5.4.8.6.4

$0 + 1 + 1$ を $1$ で割ります。

$- (0 + 1 + 1)$

ステップ 5.4.9

$0$ と $1$ をたし算します。

$- (1 + 1)$

ステップ 5.4.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 1 \cdot 2$

ステップ 5.4.11

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2$

微分積分 例

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