微分積分例

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ を ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.2

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

ステップ 1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

ステップ 1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.2

$n = - \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 6.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7.2

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$3$ を ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 7.3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 8

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 11

項を簡約します。

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ステップ 11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} (2 x)$

ステップ 11.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

ステップ 11.3

$- 2$ と $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

ステップ 11.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} x$

ステップ 11.5

$\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 6 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 11.6

$2$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 3 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例