微分積分例

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = e^{- x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

ステップ 2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

ステップ 3.2

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ に $1$ をかけます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

ステップ 4

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.2

$u = - x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 4.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = - x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - \ln (2)$

ステップ 4.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

ステップ 4.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$\ln (2)$ および $0$ で $x (- e^{- x})$ の値を求めます。

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

ステップ 7.2

$- \ln (2)$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

ステップ 7.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

ステップ 7.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

ステップ 7.3.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

ステップ 7.3.5

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ と $0$ をたし算します。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

ステップ 7.3.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

ステップ 7.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

ステップ 8

各項を簡約します。

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ステップ 8.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (2)$ を簡約します。

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

ステップ 8.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

ステップ 8.4

$\ln (2)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

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ステップ 8.5.1

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (2)$ を簡約します。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

ステップ 8.5.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

ステップ 8.5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

ステップ 8.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 8.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

ステップ 8.8

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 8.9

分子を簡約します。

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ステップ 8.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

ステップ 8.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

ステップ 8.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

ステップ 8.11

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 8.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

ステップ 8.11.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.15342640 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例