微分積分例

$a_{n} = n \cdot (n + 1)!$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (n) = n$ および $g (n) = (n + 1)!$ のとき、 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ は $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)! \frac{d}{d n} [n]$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)! \cdot 1$

ステップ 1.2.2

$(n + 1)!$ に $1$ をかけます。

$f' (n) = n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)!$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)!$ の $n$ に関する積分は $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ です。

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (n) = n$ および $g (n) = \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ のとき、 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ は $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ に $1$ をかけます。

$f'' (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ の $n$ に関する積分は $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ です。

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (n) = n$ および $g (n) = \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ のとき、 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ は $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ に $1$ をかけます。

$f''' (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ の $n$ に関する積分は $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ です。

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$f (n) = n$ および $g (n) = \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ のとき、 $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ は $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

ステップ 4.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ は $n \cdot n^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

ステップ 4.2.3

$\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

微分積分 例

微分積分例