微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

ステップ 1

この積分は部分積分を利用して完成できませんでした。Mathwayでは他の方法を利用します。

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $r = 4 \tan (t)$ とします。次に $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $4 \sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

積の法則を $4 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.2

$16$ を $16$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.3

$16$ を $16 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.4

$16$ を $16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.5

項を並べ替えます。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.7

$16 \sec^{2} (t)$ を ${(4 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.2.1

$4 \sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

$4 \sec (t)$ を $4 \sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

ステップ 3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 3.2.1.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$4$ を $4 \tan (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

ステップ 3.2.2.2

積の法則を $4 (\tan (t))$ に当てはめます。

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 3.2.2.3

$4$ を $3$ 乗します。

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 4

$64$ は $t$ に対して定数なので、 $64$ を積分の外に移動させます。

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 5

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 6

$\tan^{2} (t)$ を因数分解します。

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 8

簡約します。

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 9

$u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = \sec (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$\sec (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

ステップ 9.1.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\sec (t) \tan (t)$

ステップ 9.2

$u = \sec (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sec (0)$

ステップ 9.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 9.4

$u = \sec (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

ステップ 9.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

ステップ 9.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ と $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ をまとめます。

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

ステップ 13.2

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

ステップ 14

代入し簡約します。

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ステップ 14.1

$\sec (0.24497866)$ および $1$ で $- u + \frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 14.2

簡約します。

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ステップ 14.2.1

$- \sec (0.24497866)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 14.2.2

$- \sec (0.24497866)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 14.2.3

公分母の分子をまとめます。

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 14.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 14.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

ステップ 14.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

ステップ 14.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 14.2.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

ステップ 14.2.9

公分母の分子をまとめます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

ステップ 14.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 14.2.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

ステップ 14.2.10.2

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

ステップ 14.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

ステップ 14.2.12

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

ステップ 14.2.13

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$- 1$ を $- 3 \sec (0.24497866)$ で因数分解します。

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 15.2

$- 1$ を $\sec^{3} (0.24497866)$ で因数分解します。

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 15.3

$- 1$ を $- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ で因数分解します。

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 15.4

$- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ を $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ に書き換えます。

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 15.5

分数の前に負数を移動させます。

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

10進法形式：

$0.06124186 \dots$

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例