微分積分例

$\sum_{i = 1}^{9} - 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 2.1

$a_{i}$ と $a_{i + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 28$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ と ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ を ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$

ステップ 2.2.3

$i$ と $0$ をたし算します。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - (i - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i + 1}$

ステップ 2.2.5

$i$ から $i$ を引きます。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$i$ の $1$ を $- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ に代入します。

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

ステップ 3.2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.2.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

ステップ 3.2.2.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

ステップ 3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 28 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

ステップ 3.2.4

$\frac{1^{0}}{2^{0}}$ に $1$ をかけます。

$a = - 28 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

ステップ 3.2.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 28 \frac{1}{2^{0}}$

ステップ 3.2.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.7

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.7.1

共通因数を約分します。

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.7.2

式を書き換えます。

$a = - 28 \cdot 1$

ステップ 3.2.8

$- 28$ に $1$ をかけます。

$a = - 28$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$- 28 \frac{1 - {(- \frac{1}{2})}^{9}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{2})}^{9})}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{2^{9}})}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{9}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

${(- 1)}^{9}$ を移動させます。

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.2.2

${(- 1)}^{9}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 5.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.2.3

$9$ と $1$ をたし算します。

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を $10$ 乗します。

$- 28 \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.4

$\frac{1^{9}}{2^{9}}$ に $1$ をかけます。

$- 28 \frac{1 + \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.6

$2$ を $9$ 乗します。

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 28 \frac{\frac{512}{512} + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.8

公分母の分子をまとめます。

$- 28 \frac{\frac{512 + 1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.9

$512$ と $1$ をたし算します。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- - \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

ステップ 5.2.1.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2 + 1}{2}}$

ステップ 5.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{3}{2}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 28 (\frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3})$

ステップ 5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$3$ を $513$ で因数分解します。

$- 28 (\frac{3 (171)}{512} \cdot \frac{2}{3})$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$- 28 (\frac{3 \cdot 171}{512} \cdot \frac{2}{3})$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$- 28 (\frac{171}{512} \cdot 2)$

ステップ 5.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$2$ を $512$ で因数分解します。

$- 28 (\frac{171}{2 (256)} \cdot 2)$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

$- 28 (\frac{171}{2 \cdot 256} \cdot 2)$

ステップ 5.5.3

式を書き換えます。

$- 28 (\frac{171}{256})$

ステップ 5.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.1

$4$ を $- 28$ で因数分解します。

$4 (- 7) \frac{171}{256}$

ステップ 5.6.2

$4$ を $256$ で因数分解します。

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

ステップ 5.6.3

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

ステップ 5.6.4

式を書き換えます。

$- 7 (\frac{171}{64})$

ステップ 5.7

$- 7$ と $\frac{171}{64}$ をまとめます。

$\frac{- 7 \cdot 171}{64}$

ステップ 5.8

$- 7$ に $171$ をかけます。

$\frac{- 1197}{64}$

ステップ 5.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1197}{64}$

微分積分 例

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