微分積分例

$y = \arcsin (\frac{x}{4})$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{x}{4}))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = \frac{x}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

積の法則を $\frac{x}{4}$ に当てはめます。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

ステップ 3.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

微分積分 例

微分積分例