微分積分例

${(e^{x} + 1)}^{2}$

ステップ 1

${(e^{x} + 1)}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

${(e^{x} + 1)}^{2}$ を $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ に書き換えます。

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.3.1.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.3.1.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.3.1.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

ステップ 4.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

ステップ 4.3.2

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

ステップ 6

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 6.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

ステップ 7

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

ステップ 10

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

ステップ 11

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

ステップ 13

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

微分積分 例

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