微分積分例

$f (x) = \cos (x^{2})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

ステップ 1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \sin (x^{2}) x$

ステップ 1.2.2.2

$- 2 \sin (x^{2}) x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x \sin (x^{2})$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x \sin (x^{2})$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$- 2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 2 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.8.2

$2$ を $\cos (x^{2})$ の左に移動させます。

$- 2 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

ステップ 2.10

$\sin (x^{2})$ に $1$ をかけます。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

ステップ 2.11

簡約します。

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ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 2 \sin (x^{2})$

ステップ 2.11.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$ です。

$- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

微分積分 例

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