微分積分例

$f (x) = \cos (4 x - 3)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \cos (4 x - 3) d x$

ステップ 3

$u = 4 x - 3$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 4 x - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$4 x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $4 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$4 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

ステップ 4

$\cos (u)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int \frac{\cos (u)}{4} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

ステップ 6

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{1}{4} \sin (u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $4 x - 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \sin (4 x - 3) + C$

ステップ 9

答えは関数 $f (x) = \cos (4 x - 3)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \sin (4 x - 3) + C$

微分積分 例

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