微分積分例

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + \tan (x)$ および $g (x) = 1 + \cot (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{(1 + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $1 + \cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ です。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6

掛け算します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

$1 + \tan (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$\sec^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.3

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.4

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.6

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.7

$\cos (x)$ と $\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.7.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.7.2.1

$\cos (x)$ を $\sin (x) \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.8

分数を分解します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.9

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.11

$\csc^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.12

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.13

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.14

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.15

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.16

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.17

$\sin (x)$ と $\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.17.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.17.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.17.2.1

$\sin (x)$ を $\cos (x) \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.17.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.17.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.18

分数を分解します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.19

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.1.20

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.2

$\sec (x) \csc (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.3.3

$\csc (x) \sec (x)$ と $\csc (x) \sec (x)$ をたし算します。

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$\frac{2 \csc (x) \sec (x) + \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \csc (x) \sec (x) = 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x)$

ステップ 7.5.3

多項式を書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

ステップ 7.5.4

$a = \sec (x)$ と $b = \csc (x)$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(\sec (x) + \csc (x))}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例