微分積分例

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1.3.2

$e^{\frac{1}{x}}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}] + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- \frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.5.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.6

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$- \frac{x^{- 2} x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x^{- 2 + 2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.6.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1))$ を簡約します。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.7.2

$- 1$ を $e^{\frac{1}{x}}$ の左に移動させます。

$- \frac{- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.7.3

$- 1 e^{\frac{1}{x}}$ を $- e^{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} (2 x)}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.11

式を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + 0$

ステップ 2.11.2

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$

ステップ 2.12

簡約します。

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ステップ 2.12.1

$- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2

$e^{\frac{1}{x}}$ を $- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}$ で因数分解します。

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ステップ 2.12.2.1

$e^{\frac{1}{x}}$ を $- e^{\frac{1}{x}}$ で因数分解します。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2.2

$e^{\frac{1}{x}}$ を $- 2 x e^{\frac{1}{x}}$ で因数分解します。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.12.2.3

$e^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)$ で因数分解します。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 - 2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.12.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - 2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.12.4

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - (2 x))}{x^{4}}$

ステップ 2.12.5

$- 1$ を $- 1 (1) - (2 x)$ で因数分解します。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1 + 2 x))}{x^{4}}$

ステップ 2.12.6

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.12.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.12.8

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ です。

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

微分積分 例

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