微分積分例

$\ln (\frac{2}{x^{2}})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{2}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2}{x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2}{x^{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{2}{x^{2}}$ で割ります。

$1 \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{x^{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 5.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 5.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 5.3.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 5.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

ステップ 6

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

ステップ 7

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- 3}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x^{- 3}$ を移動させます。

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

ステップ 7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

ステップ 7.3

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$x^{- 1} \cdot - 2$

ステップ 8

$- 2$ を $x^{- 1}$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot x^{- 1}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x}$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x}$

ステップ 9.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x}$

微分積分 例

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