微分積分例

$\frac{e^{- x}}{- 3 x}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{3 x}]$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{e^{- x}}{3 x}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{- x}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3.3

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.5

分数をまとめます。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$

ステップ 4.5.2

$\frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2} \cdot 3}$

ステップ 4.5.3

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{3 \cdot x^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{- x e^{- x} - e^{- x}}{3 x^{2}}$

ステップ 5.2

$e^{- x}$ を $- x e^{- x} - e^{- x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$e^{- x}$ を $- x e^{- x}$ で因数分解します。

$- \frac{e^{- x} (- x) - e^{- x}}{3 x^{2}}$

ステップ 5.2.2

$e^{- x}$ を $- e^{- x}$ で因数分解します。

$- \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1}{3 x^{2}}$

ステップ 5.2.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$- \frac{e^{- x} (- x - 1)}{3 x^{2}}$

ステップ 5.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1)}{3 x^{2}}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1 (1))}{3 x^{2}}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$- \frac{e^{- x} (- (x + 1))}{3 x^{2}}$

ステップ 5.6

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$- \frac{e^{- x} (- 1 (x + 1))}{3 x^{2}}$

ステップ 5.7

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

ステップ 5.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

ステップ 5.9

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例