微分積分例

$\int 4 x e^{2 x} d x$

ステップ 1

$u = 4 x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 2.2

$4$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 2.3

$x$ と $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 2.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

$2$ を $x (4 e^{2 x})$ で因数分解します。

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 2.4.2.4

$x (2 e^{2 x})$ を $1$ で割ります。

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2} \cdot 4$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot 4$ を積分の外に移動させます。

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

ステップ 4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

ステップ 5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ と $- 2$ をまとめます。

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 8.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

ステップ 8.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

ステップ 10

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ を $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ に書き換えます。

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

微分積分 例

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