微分積分例

$y = \frac{e^{- x}}{x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = e^{- x}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$\frac{(x + 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) e^{- x} \cdot - 1 - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$- 1$ を $(x + 1) e^{- x}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot ((x + 1) e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$- 1 (x + 1)$ を $- (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.7.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (x + 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(- x - 1 \cdot 1) e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- x e^{- x} - 1 \cdot 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- x e^{- x} - 1 e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.1.2

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$\frac{- x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- e^{- x}$ から $e^{- x}$ を引きます。

$\frac{- x e^{- x} - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{- x} x - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

$e^{- x}$ を $- e^{- x} x - 2 e^{- x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$e^{- x}$ を $- e^{- x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- x) - 2 e^{- x}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$e^{- x}$ を $- 2 e^{- x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- x - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (x) - 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- (x) - 1 (2))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- x} (- (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- (x + 2)$ を $- 1 (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- 1 (x + 2))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{- x} (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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