微分積分例

$\int_{e}^{e^{e}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 1.2

$u = \ln (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \ln (e)$

ステップ 1.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = \ln (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \ln (e^{e})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

対数の法則を利用して指数の外に $e$ を移動します。

$u_{upper} = e \ln (e)$

ステップ 1.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$u_{upper} = e \cdot 1$

ステップ 1.5.3

$e$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = e$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

ステップ 2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |)]_{1}^{e}$

ステップ 3

$e$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |)$

ステップ 4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\ln (\frac{e}{| 1 |})$

ステップ 5.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\ln (\frac{e}{1})$

ステップ 5.3

$e$ を $1$ で割ります。

$\ln (e)$

ステップ 6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$1$

微分積分 例

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