微分積分例

$y = {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

ステップ 1

$y = f (x)$ とし、両辺 $\ln (y) = \ln (f (x))$ の自然対数を取ります。

$\ln (y) = \ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$

ステップ 2

$x e^{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x^{3} + 1)}^{x e^{x}})$ を展開します。

$\ln (y) = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 3

連鎖律を利用して式を微分します。 $y$ が $x$ の関数であることを覚えておいてください。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を利用して左側 $\ln (y)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$

ステップ 3.2

右側を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x e^{x} \ln (x^{3} + 1)$ を微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x e^{x} \ln (x^{3} + 1)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x e^{x}$ および $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} + 1$ とします。

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 1$ で置き換えます。

$\frac{y'}{y} = x e^{x} (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.4

微分します。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{1}{x^{3} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{x^{3} + 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.4.2

$\frac{x}{x^{3} + 1}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.4.3

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.4.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.4.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.4.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.4.6.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x}}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.4.6.2

$3$ と $\frac{x e^{x}}{x^{3} + 1}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.4.6.3

$\frac{3 (x e^{x})}{x^{3} + 1}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x e^{x}) x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2} x^{1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{2 + 1} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 (x^{3} e^{x})}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 3.2.6

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.8

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.8.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 3.2.8.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 3.2.9

$\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3} + 1}{x^{3} + 1}$ を掛けます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x}}{x^{3} + 1} + \frac{\ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + (\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) e^{x}) (x^{3} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) x^{3} + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1.1.3.1

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1.1.3.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.3.1.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.11.1.1.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{3 + 1} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.3.1.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + \ln (x^{3} + 1) (x e^{x}) \cdot 1 + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.3.2

$\ln (x^{3} + 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \cdot \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x} \cdot 1}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.1.3.3

$\ln (x^{3} + 1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.1.2

$3 x^{3} e^{x} + \ln (x^{3} + 1) (x^{4} e^{x}) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + \ln (x^{3} + 1) e^{x} x^{3} + \ln (x^{3} + 1) e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

ステップ 3.2.11.2

項を並べ替えます。

$\frac{y'}{y} = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1}$

ステップ 4

$y'$ を取り出し、右側の $y$ に元の関数を代入します。

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

ステップ 5

右側を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{x^{3} + 1^{3}} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

ステップ 5.1.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

ステップ 5.1.3

簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

ステップ 5.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$y' = \frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$

ステップ 5.2

$\frac{3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ と ${(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}$ をまとめます。

$y' = \frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

ステップ 5.3

$\frac{(3 e^{x} x^{3} + e^{x} x^{4} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x \ln (x^{3} + 1) + e^{x} x^{3} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1)) {(x^{3} + 1)}^{x e^{x}}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{{(x^{3} + 1)}^{x e^{x}} (3 x^{3} e^{x} + x^{4} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x e^{x} \ln (x^{3} + 1) + x^{3} e^{x} \ln (x^{3} + 1) + e^{x} \ln (x^{3} + 1))}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

微分積分 例

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