微分積分例

$e^{x} (1 + x)$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + (1 + x) e^{x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} + 1 e^{x} + x e^{x}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + e^{x} + x e^{x}$

ステップ 4.2.2

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$2 e^{x} + x e^{x}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 4.4

$e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$x e^{x} + 2 e^{x}$

微分積分 例

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