微分積分例

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

ステップ 1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

ステップ 2

$u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 2 \csc (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

ステップ 2.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \csc (2 x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

ステップ 2.1.3

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.3.2

$u_{1}$ に関する $\csc (u_{1})$ の微分係数は $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ です。

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.4

微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.1.4.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

ステップ 2.1.4.5

式を簡約します。

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ステップ 2.1.4.5.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

ステップ 2.1.4.5.2

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 3

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 5

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 \csc (2 x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$

微分積分 例

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