微分積分例

$y = \sqrt{2 p x}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 p x}$ を ${(2 p x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 p x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.2.1

$2$ を $2 p x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(2 (p x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2.2

積の法則を $2 (p x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

$2^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = p x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $p x$ とします。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $p x$ で置き換えます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{{(p x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

ステップ 11

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

ステップ 12

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.1

$2^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

ステップ 12.2

$2^{- \frac{1}{2}}$ に $2$ をかけます。

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ステップ 12.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

ステップ 12.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

ステップ 12.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

ステップ 12.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

ステップ 12.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

ステップ 13

$p$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $p x$ の微分係数は $p \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} (p \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14

$p$ と $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 16

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

積の法則を $p x$ に当てはめます。

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} (p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.2

項をまとめます。

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ステップ 17.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $p^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{p \cdot p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2

指数を足して $p$ に $p^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 17.2.2.1

$p$ に $p^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 17.2.2.1.1

$p$ を $1$ 乗します。

$\frac{p^{1} p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{p^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{p^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{p^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{p^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例