微分積分例

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + \ln (x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ をたし算します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{x \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - (1 + \ln (x))}{x^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 5.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 - \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 5.2.3

$0$ から $\ln (x)$ を引きます。

$\frac{- \ln (x)}{x^{2}}$

ステップ 5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例