微分積分例

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1.2

$x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{x \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} (\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 2.1.2

$\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ に $\frac{2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$ をかけます。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{(\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 2}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に近づくと定数である $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の極限値を求めます。

$2 \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.2.3

すべての $x$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.3.1

$x$ を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に代入し、 $\arcsin (x)$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.2.3.2

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$2 \frac{\frac{π}{3} - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.2.4

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$2 \frac{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.2.4.2

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{\frac{π - π}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.2.4.3

$π$ から $π$ を引きます。

$2 \frac{\frac{0}{3}}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.2.4.4

$0$ を $3$ で割ります。

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$x$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.3.1.3

$x$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に近づくと定数である $\sqrt{3}$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{0}{2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.3.3.1.2

式を書き換えます。

$2 \frac{0}{\sqrt{3} - \sqrt{3}}$

ステップ 3.1.3.3.2

$\sqrt{3}$ から $\sqrt{3}$ を引きます。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})}{x \cdot 2 - \sqrt{3}} = lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.2

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x) - \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $\arcsin (x) - \frac{π}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ です。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.4

$x$ に関する $\arcsin (x)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.5

$- \frac{π}{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.6

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.7

総和則では、 $x \cdot 2 - \sqrt{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]$ です。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.8

$\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.8.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.8.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.8.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3}]}$

ステップ 3.3.9

$- \sqrt{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \sqrt{3}$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2 + 0}$

ステップ 3.3.10

$2$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{2}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 2}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 4.2

$x$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 4.3

$x$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 4.4

根号の下に極限を移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - x^{2}}}$

ステップ 4.5

$x$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

ステップ 4.6

$x$ が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x^{2}}}$

ステップ 4.7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to \frac{\sqrt{3}}{2}} x)}^{2}}}$

ステップ 5

$x$ を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

ステップ 6.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}}$

ステップ 6.3

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}}$

ステップ 6.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}}$

ステップ 6.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}}$

ステップ 6.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

ステップ 6.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}}$

ステップ 6.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{2^{2}}}}$

ステップ 6.3.2.5

指数を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{2^{2}}}}$

ステップ 6.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}}$

ステップ 6.3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}$

ステップ 6.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 3}{4}}}$

ステップ 6.3.6

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$

ステップ 6.3.7

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}$

ステップ 6.3.8

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{4}}}$

ステップ 6.3.9

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

ステップ 6.3.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \cdot 2$

ステップ 6.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

微分積分 例

微分積分例