微分積分例

$lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} - 50}{3 x - 15}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} - 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2.1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2.1.4

$x$ が $5$ に近づくと定数である $50$ の極限値を求めます。

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 5^{2} - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 \cdot 25 - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ に $25$ をかけます。

$\frac{50 - 1 \cdot 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1$ に $50$ をかけます。

$\frac{50 - 50}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.2.3.2

$50$ から $50$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x - 15}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 15}$

ステップ 1.1.3.1.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 15}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $5$ に近づくと定数である $15$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 15}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{3 \cdot 5 - 1 \cdot 15}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{0}{15 - 1 \cdot 15}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $15$ をかけます。

$\frac{0}{15 - 15}$

ステップ 1.1.3.3.2

$15$ から $15$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} - 50}{3 x - 15} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $2 x^{2} - 50$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

ステップ 1.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

ステップ 1.3.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 50]}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

ステップ 1.3.4

$- 50$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 50$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

ステップ 1.3.5

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [3 x - 15]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $3 x - 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

ステップ 1.3.7.3

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 + \frac{d}{d x} [- 15]}$

ステップ 1.3.8

$- 15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 15$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3 + 0}$

ステップ 1.3.9

$3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 5} \frac{4 x}{3}$

ステップ 2

$\frac{4}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4}{3} lim_{x \to 5} x$

ステップ 3

$x$ を $5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4}{3} \cdot 5$

ステップ 4

$\frac{4}{3} \cdot 5$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$\frac{4}{3}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 5}{3}$

ステップ 4.2

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{20}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{20}{3}$

10進法形式：

$6.\overline{6}$

微分積分 例

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