微分積分例

$\int \frac{18 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

ステップ 1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $18$ を積分の外に移動させます。

$18 \int \frac{\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

ステップ 2

$u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ とします。次に $d u_{2} = 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$2 + \tan^{3} (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 + \tan^{3} (x)]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $2 + \tan^{3} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x)$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 2.1.3.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 2.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$0 + 3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 2.1.3.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$0 + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$0$ と $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ をたし算します。

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 2.1.4.2

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

ステップ 3.2

$3$ を ${u_{2}}^{2}$ の左に移動させます。

$18 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$18 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{3}$ と $18$ をまとめます。

$\frac{18}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 5.1.2

$18$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

$3$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 5.1.2.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 5.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.2.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$6 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 5.2.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 5.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 6

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ を $6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ に書き換えます。

$6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \frac{1}{u_{2}} + C$

ステップ 7.2.2

$- 6$ と $\frac{1}{u_{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 6}{u_{2}} + C$

ステップ 7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{u_{2}} + C$

ステップ 8

$u_{2}$ のすべての発生を $2 + \tan^{3} (x)$ で置き換えます。

$- \frac{6}{2 + \tan^{3} (x)} + C$

微分積分 例

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