微分積分例

$lim_{x \to 2} {(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}}$ を $e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 2} e^{\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x - 2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{x}{2})}^{\frac{1}{x - 2}})$ を展開します。

$lim_{x \to 2} e^{\frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \ln (\frac{x}{2})}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x - 2}$ と $\ln (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 2} \ln (\frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 2} \frac{x}{2})}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

ステップ 3.1.2.3.1.2

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

ステップ 3.1.2.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

ステップ 3.1.3.1.2

$x$ が $2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{\frac{0}{2 - 2}}$

ステップ 3.1.3.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{\ln (\frac{x}{2})}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{2}$ で割ります。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.4

$\frac{2}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.5

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.6

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{x}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

共通因数を約分します。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.7.2

式を書き換えます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.9

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}}$

ステップ 3.3.10

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

ステップ 3.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}}$

ステップ 3.3.12

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}}$

ステップ 3.3.13

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 2} \frac{1}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} x}}$

ステップ 4.2

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 2} x}}$

ステップ 5

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{2}}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{\frac{1}{2}}$

10進法形式：

$1.64872127 \dots$

微分積分 例

微分積分例