微分積分例

$\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\cos^{4} (x) - \sin^{4} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$4 \cos^{3} (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

ステップ 2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \sin^{4} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin^{4} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$ です。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - (4 \sin^{3} (x) \cos (x))$

ステップ 3.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$4 \cos (x) \sin (x)$ を $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$4 \cos (x) \sin (x)$ を $- 4 \cos^{3} (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$

ステップ 4.1.2

$4 \cos (x) \sin (x)$ を $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

ステップ 4.1.3

$4 \cos (x) \sin (x)$ を $4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x)) + 4 \cos (x) \sin (x) (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$4 \cos (x) \sin (x) (- \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

ステップ 4.2

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x))$

ステップ 4.3

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x)))$

ステップ 4.4

$- 1$ を $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)))$

ステップ 4.5

項を並べ替えます。

$4 \cos (x) \sin (x) (- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))$

ステップ 4.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$4 \cos (x) \sin (x) (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 \cos (x) \sin (x) \cdot - 1$

ステップ 4.8

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 \cos (x) \sin (x)$

微分積分 例

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