微分積分例

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

ステップ 1

$e^{- θ}$ と $\cos (2 θ)$ を並べ替えます。

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

ステップ 2

$u = \cos (2 θ)$ と $d v = e^{- θ}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

ステップ 3

$- - 2$ は $θ$ に対して定数なので、 $- - 2$ を積分の外に移動させます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

ステップ 4.3

$e^{- θ}$ と $\sin (2 θ)$ を並べ替えます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

ステップ 5

$u = \sin (2 θ)$ と $d v = e^{- θ}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

ステップ 6

$- 1 \cdot 2$ は $θ$ に対して定数なので、 $- 1 \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

ステップ 7

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

ステップ 7.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

ステップ 7.4

掛け算します。

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ステップ 7.4.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

ステップ 7.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

ステップ 8

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ を解くと、 $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ であることが分かります。

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ を $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ に書き換えます。

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$e^{- θ}$ を $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1.1

$e^{- θ}$ を $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

ステップ 9.2.1.2

$e^{- θ}$ を $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ で因数分解します。

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

ステップ 9.2.1.3

$e^{- θ}$ を $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ で因数分解します。

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

ステップ 9.2.2

$- 1$ を $- \cos (2 θ)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

ステップ 9.2.3

$- 1$ を $2 \sin (2 θ)$ で因数分解します。

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

ステップ 9.2.4

$- 1$ を $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ で因数分解します。

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

ステップ 9.2.5

$- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ を $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ に書き換えます。

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

ステップ 9.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$

微分積分 例

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