微分積分例

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

ステップ 1.11

式を簡約します。

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ステップ 1.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

ステップ 1.11.2

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.2

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

一次導関数を $0$ にする値がないので、グラフの山または谷の点はありません。

グラフの山または谷の点はありません

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例