微分積分例

$y = (x^{2} + x + 1) (x - 1)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} + x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} + x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} + x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

ステップ 2.4.2

$x^{2} + x + 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

ステップ 2.5

総和則では、 $x^{2} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + 0)$

ステップ 2.9

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.4

項をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.4.6

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1 \cdot 1$

ステップ 3.4.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1$

ステップ 3.4.8

$- 2 x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1$

ステップ 3.4.9

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} + x + 1 - x - 1$

ステップ 3.4.10

$x$ から $x$ を引きます。

$3 x^{2} + 0 + 1 - 1$

ステップ 3.4.11

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 1 - 1$

ステップ 3.4.12

$1$ から $1$ を引きます。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 3.4.13

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

微分積分 例

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