微分積分例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 1.2.4

$\frac{4}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 1.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

ステップ 1.4.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x^{3} + 0 + \frac{3}{3} x^{2}$

ステップ 1.4.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

ステップ 1.4.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.5.1

共通因数を約分します。

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

ステップ 1.4.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + 0 + x^{2}$

ステップ 1.5

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{3} + x^{2}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $3 x^{2} + 2 x$ です。

$3 x^{2} + 2 x$

微分積分 例

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