微分積分例

$f (x) = e^{x y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (f (x)) = \frac{d}{d y} (e^{x y})$

ステップ 2

$f (x)$ の微分係数は $\frac{d f}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{d f}{d x}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 3.2

$f (y) = x$ および $g (y) = y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$e^{x y} (x + y x')$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分配則を当てはめます。

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x + e^{x y} y x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$ として書き換えます。

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$

ステップ 5.2

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$ の因数を並べ替えます。

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

ステップ 5.3

$d$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{f}{x}$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $x e^{x y}$ を引きます。

$y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$

ステップ 5.5

$y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ の各項を $y e^{x y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ の各項を $y e^{x y}$ で割ります。

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.2.2

$e^{x y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.3.1.2

まとめる。

$x' = \frac{f \cdot 1}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.3.1.3

$f$ に $1$ をかけます。

$x' = \frac{f}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.3.1.4

$e^{x y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

ステップ 5.5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x}{y}$

ステップ 5.5.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$

微分積分 例

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