微分積分例

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

ステップ 1

$u = t + 1$ とします。次に $d u = d t$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = t + 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$t + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u = t + 1$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = t + 1$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

ステップ 1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = x^{2} + 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3

$(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.4

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.8

$2$ から $1$ を引きます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 3.10

$- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ と $2 u^{- \frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

ステップ 3.11

$2 u^{\frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 4

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

ステップ 6

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$x^{2} + 2$ および $2$ で $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

指数を足して $2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1.1

$2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ をかけます。

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ステップ 7.2.1.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.1.4

$2$ と $3$ をたし算します。

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

ステップ 7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

ステップ 7.2.3

$2$ と $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

ステップ 8

項を並べ替えます。

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

ステップ 9.2

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

ステップ 9.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

ステップ 9.2.3

$\frac{4}{3}$ と ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

ステップ 9.3

$\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ を掛けます。

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ステップ 9.3.1

$\frac{2}{3}$ と $2^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

ステップ 9.3.2

指数を足して $2$ に $2^{\frac{5}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 9.3.2.1

$2$ に $2^{\frac{5}{2}}$ をかけます。

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ステップ 9.3.2.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

ステップ 9.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

ステップ 9.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

ステップ 9.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

ステップ 9.3.2.4

$2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

ステップ 9.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$

微分積分 例

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