微分積分例

$x y^{2} - \sin (x + y) + y$

ステップ 1

総和則では、 $x y^{2} - \sin (x + y) + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y^{2}$ の微分係数は $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x + y)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x + y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ です。

$y^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$y^{2} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$y^{2} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$y^{2} - (\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$y^{2} - (\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.5

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} - (\cos (x + y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.7

$\cos (x + y)$ に $1$ をかけます。

$y^{2} - \cos (x + y) + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$y^{2} - \cos (x + y) + 0$

ステップ 4.2

$y^{2} - \cos (x + y)$ と $0$ をたし算します。

$y^{2} - \cos (x + y)$

微分積分 例

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